근무 시간에 따른 종합 집계 등수로 회사의 직원 수 맞히기 논리 문제

어느 회사에서는 다음 해의 월급을 저녁에 근무한 야근 시간과 주말에 근무한 특근 시간을 고려해 결정한다. (뭐라고? ㅋㅋ) 이 문제를 접하고 처음에는 약간 당황, 직원 수 맞히기는 일단 접어두고 현무와 지석 2명이 각각 야근과 특근에서 10위와 11위를 번갈아 했는데 그 중에서 지석의 경우 야근 11위, 특근 10위 기록의 합계만으로도 지석이 1위가 되고 현무가 꼴지로 확 나뉠 수 있는가에 대한 의구심이 먼저 들었다.

단순하게 드러난 사실만 놓고 보면 단거리 경주 11위, 장거리 경주 10위를 한 선수가 두 경주의 기록을 합친 종합 순위에서 1위를 했다는 말인데 확실히 사고의 전환이 필요한 문제,

심호흡 한번 하고 천천히 생각을 해보니 헷갈릴 수 있는 부분이 있었지만 확실히 이 주어진 문제는 직원 수를 맞히기에 딱 맞는 정확한 정보를 주고 있다는 걸 알았다. 처음에는 당황했지만 내 경우에는 답을 알아내는데 30초 정도 걸렸던 것 같다. 직원인 현무와 지석의 근무 시간 합계는 다음과 같다.

야근 시간 합계 : 현무 10위 / 지석 11위

특근 시간 합계 : 현무 11위 / 지석 10위

야근 시간 + 특근 시간 합계 : 현무 꼴찌 / 지석 1위

이 회사의 직원은 모두 몇 명일까? 주어진 순위를 보고 이 회사 총 직원 수를 맞히는 문제!

중간 고사 11등, 기말 고사 10등인 학생이 두 성적을 합쳤을 때 반에서 1등한 것과 같다. (이게 일반적인 상식으로는 이해가 안될 수도 있지만 문제를 풀면 충분히 가능하다는 걸 알게 된다) 그럼 이 반의 학생 수는 몇 명인가에 대한 비슷한 문제 추론이 가능하다. 1위가 나올 수 있는 경우가 어떤 것인지를 안다면 결국 학생 수도 나오게 된다. 계속 풀고자 하는 사람은 도전!, 모르겠다 싶으면 스크롤을 내려 정답 해설을 보자. 정답은 아래부터~

일단 야근이든 특근이든 순위가 10위, 11위가 나왔다. 이 회사에 이 두 사람이 있는 건 확실, 그리고 10위와 11위라는 이 말은 1위에서 9위까지 두 사람 앞에 있다는 뜻이 된다. (일단 이것만 해도 11명이 나온다) 야근과 특근의 합과 상관없이 야근과 특근 모두 두 사람은 10위와 11위를 번갈아 했으니 두 사람을 제외하고 각각 앞 등수에 해당하는 사람들이 9명씩 있었다는 말이 된다. 10위에 있던 사람과 11위에 있던 두 사람만이 자리 교체를 한 셈이다.

그런데 문제는 야근과 특근을 합쳤을 때 11위/10위를 했던 지석이 1위로 올라섰다는 점이다. 야근과 특근이라는 두 번의 경쟁에서 누군지 알 수 없는 1위에서 9위까지를 제치고 1위 자리로 올라가기 위해서는 지석의 성적은 10위와 11위로 이미 종결된 상태이기 때문에 더 잘한다고 해서 이길 수 없다. 즉 1위부터 9위가 반대로 지석보다 못해야 한다는 말이 된다. 

그런 11위 기록을 가진 지석보다 못하기 위해서는 1위부터 9위 모두가 뒤로 빠져야 한다. 결국 10위와 11위 앞에 9명이 있던 것처럼 10위와 11위 뒤로도 9명의 자리가 있어야 선수 교체가 가능하고 판을 뒤집을 수 있다.

정답은 20명

이 문제를 풀 때는 그런 생각이 없었는데 방송의 풀이과정을 보고 오히려 들었던 생각이 하나 있다. 이 문제를 논리가 아닌 수학적으로 접근하다 보면 야근에서 10위 특근에서 11위를 했던 현무와 자리만 바뀐 지석이 어떻게 극단적으로 20명이 있는 회사에서 1위와 꼴찌로 나누어질 수 있는지에 대한 또 다른 의심을 가질 수 있다. (나도 10위, 11위, 쟤도 10위, 11위인데 난 꼴찌, 친구는 1등인 꼴) 상위 9명이 하위권으로 죄다 뒤쳐졌다고 해도 특근과 야근의 위치만 바뀌었을 뿐 성적은 지석과 현무가 사실상 같다. 

그럼에도 한 사람은 1등, 한 사람은 꼴등이라는 건 결국 20명의 야근/특근 총합이 모두 같다는 뜻이 된다. 야근에서 1위를 한 사람이 특근에서 20위, 야근에서 2위를 한 사람이 특근에서 19위, 야근에서 3위가 특근에서 18위 식으로 하면 지석과 현무의 입장도 설명이 된다. 20명 중 1위에게 20점, 최하위 20위에게는 1점을 준다고 했을 때 모두 21점이 나오는 경우 이게 충분히 가능하다. (물론 문제풀이를 위한 과정이지 실제로는 이런 일이 생기기 어렵겠지만..)

그럼 모든 20명이 다 동점인데 어떻게 순위가 결정되었냐고 트집 잡기 딱 좋지만 "시간"이라는 걸 가지고 나눈 순위 싸움이기 때문에 시와 분까지는 같을 수 있어도 초 단위는 다를 수 밖에 없다. (시/분의 합으로 할 경우 전부 동점 처리가 나올 수 있음) 결국 20명이 동점이어도 순위는 나오기 마련이다. 20명이 있는 학급에서 모두 "수" 100점을 맞아도 1등에서 20등이 나오는 것과 같다. 다만 이 문제는 그런 것까지는 배제하고 "논리"적인 것만 따진 문제로 혹여 지석과 현무의 성적을 가지고 꼴지와 일등으로 트집을 잡는다해도 성적 집계 기준이 되는 시/분으로 순위를 가르지만 동점자가 나올 경우 초단위로 한다고 가정했을 때는 그 트집도 쓸모가 없게 되고 잘못된 점이 없다.

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