가우스 공식을 알면 쉽게 풀 수 있는 암기 산술 문제 (등차수열의 합공식)

필기 도구 및 스마트 기기, 계산기 등 어떤 도구도 쓰지 않고 오로지 암기로만 풀어야 하는 문제, 1부터 100까지 숫자를 하나씩 부르는데 그걸 무작위로 불러주며 이 중에서 임의의 숫자 하나를 빼고 99개를 말해준다. 이 때 상대가 불러주는 숫자를 잘 듣고 1부터 100까지 수 중에서 어떤 숫자가 빠졌는지 암기로만 계산해 풀어야 하는 문제. 

누군가 1부터 100까지 숫자 중 임의로 하나를 빼고 불러 주어야 하기 때문에 실제로는 문제를 내 줄 상대 사람이 한 명 필요하다. 이 포스팅에서는 말을 할 수 없고 글(문자)과 숫자를 직접 써야 하기 때문에 문제를 직접 쓰면 암기 계산이 쉽기 때문에 부득이 오늘 문제는 출제를 하지 않고 풀이 과정으로 바로 넘어가도록 한다. 참고로 이 문제는 듣고 바로 상대가 누락 시킨 어떤 수가 빠졌는지를 알아내야 한다. 정석대로 하려면 상대방에게 1에서 100까지 숫자 중 하나를 빼고 99개를 임의로 불러 달라고 한 뒤 빠진 1개 숫자를 맞혀야 한다. 

언뜻 쉽게 생각하면 불러주는 것을 잘 외워 빠진 숫자를 찾아내야 하는 진짜 암기 문제 같지만 인간의 한계는 분명 있고 100개의 숫자를 무작위로 불러주는 걸 다 외울 수는 없다. 순서대로 불러준다면 빠진 수를 찾는 건 너무 쉬우나 무작위로 불러주면 어느 번호가 빠졌는지 절대로 알 수 없다. 수는 물론 위치까지 다 외워야 빠진 수를 알아낼 수 있기 때문이다. 그러니까 조금 더 쉽게 풀 수 있는 방법, 하나의 숫자를 찾는 방법이 분명 있다는 것인데 힌트는 제목에도 나오지만 "가우스 공식"이며 등차수열의 합공식을 알면 쉽게 풀 수 있다. 

참고로 일반적으로 "가우스의 공식" "가우스의 덧셈"이라고 알려진 것은 1에서 100까지의 수를 모두 합산 했을 때의 값이 얼마인지를 알아내는 방법을 뜻한다. 가우스가 10살 무렵 학교에서 선생님이 내준 1에서 100까지의 더하기 값에 대한 문제를 순식간에 풀어 유명해진 풀이인데 가우스 공식 자체는 1에서 100까지 쓰고 각각 역순으로 또 다른 1에서 100까지를 거기에 더해 (1 + 100, 2 + 99, 3 + 98....이런 형태) 101을 100개 만들면 그 자체가 10100 인데 이건 빠른 계산을 위해 임의로 두 번 더한 것이 되니 이 값에 나누기 2를 하면 5050이라는 숫자가 나온다. 이게 바로 1에서 100까지 모두 합친 수의 값이다. 혹은 첫 1과 끝 100을 더해 101, 그 다음 2와 끝의 다음은 99를 더해 101, 이런 식으로 49 + 52, 50 + 51로 점점 끝에서 안으로 좁혀 계산해 더해 가면 모두 101 합으로 50개를 만들 수 있는데 101 X 50 = 5050이 바로 계산되어져 계산 속도가 엄청 빠르게 된다. 1 + 2 + 3 + 4......이런 식으로 순서대로 다 더하지 않고 101을 만들어 내는 공식인데 이것으로 우리는 1에서 100까지의 합이 어떻게 되고 빨리 찾을 수 있는지 이 공식으로 알 수 있다.

이렇게 연속된 자연수의 합을 쉽게 구할 수 있으면 연속되어지는 짝수의 합, 홀수의 합도 쉽게 알아낼 수 있고 1부터 n까지의 더한 값을 n(n+1)/2 공식으로 만들어 쉽게 풀 수 있게 되는데 오늘 문제는 1부터 100까지의 합이 아닌 1부터 100까지 상대가 부른 값 중 빠진 하나를 찾는 문제로 더 고차원적인 문제라 할 수 있다. 1부터 100까지 불러주는 숫자 중 어떤 숫자가 빠졌는지를 묻는 문제이기 때문에 빠진 숫자를 찾는 다른 문제 유형, 하지만 분명 이것도 가우스 공식으로 쉽게 풀 수 있다는 것이 바로 본론이다.

자, 이제 답 풀이, 1에서 100까지 무작위로 불러주는 99개의 숫자 중 어떤 숫자가 빠졌는지 어떻게 쉽게 알아낼 수 있을까? 답은 간단하다. 가우스 공식을 그대로 도입하면 된다. 가우스의 공식을 다시 보면 

숫자의 개수 X {(첫 번째 수 + 마지막 수) / 2} 이게 바로 1부터 100까지 합을 계산하는 공식이다. 우리는 가우스 공식에 의해 일단 1부터 100의 합이 5050이라는 걸 알게 되었다 (알고 있다), 그럼 간단하다. 5050 - 상대가 불러주는 숫자의 모든 합 = 상대방이 누락시킨 숫자이기 때문이다. 그러니까 상대방이 불러주는 숫자를 모두 하나씩 암기로 더해 나온 숫자를 5050에서 빼기만 하면 그 차이가 바로 누락 시킨 숫자인 셈, 

이 문제는 가우스 공식에 의해 1부터 100까지의 합이 얼마인지를 먼저 알아낸 뒤, 그 다음 상대가 불러주는 수를 "모두 카운팅"하여 더해야 풀 수 있는 문제다. 불러주는 숫자를 모두 더하기만 하면 5050에서 부족한 수가 최종 더하기 값이 되는데 그 차액이 바로 정답인 셈, 그러니까 이 문제는 상대가 불러주는 숫자를 잘 듣고 더해야 하는 암기(계산)도 매우 중요한 조금 더 수준 높은 문제인 셈이다. 막상 알면 쉬운데 모르면 엄청 어려운 문제, 잘 모르면 불러주는 모든 숫자를 아예 통으로 다 외워서 빠진 수가 무언지 추적(?)해야 하는 노가다 문제가 될 수도 있다.

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