내기에서 세 번 이긴 사람이 모두 갖기로 했는데 중간에 중단된 경우 공정한 배분 비율은?

솜씨가 서로 비슷한 두 사람이 있다. 두 사람은 각각 금화 32개를 가지고 있고 그 둘은 내기를 했다.

내기에서 먼저 세 번 이긴 사람이 판돈 64개의 금화를 모두 가지기로 하고 게임을 시작했는데

A가 두 번, B가 한 번 이긴 상황에서 게임이 갑자기 중단 되었다.

이 경우 판돈을 나눠 갖는다면 어떻게 나누어 갖는 것이 가장 공정할까?

이 문제는 산술적인 문제인데 따지고 보면 논리적인 문제로도 해석이 가능하다. 논리수학이 될 수도 있는데 문제를 어떤 방식으로든 풀어 비율을 맞추는 것도 답이 되지만 타일러의 주장처럼 게임 자체가 무효가 되어야 한다고도 할 수 있다. 문제의 핵심 포인트는 "어떻게 나누는 것이 가장 공정"한가에 대한 질문이기 때문에 그 부분을 따지고 든다면 무시할 수 없다.

솔직히 나도 이 문제를 보고 수학적으로 풀기 보다는 이게 "공정"하게 풀 수 있느냐에 집중했다. 확률을 따진다고 해도 어차피 그건 가상의 미래에 대한 기대값, 그게 현실이 된다는 보장도 없고 확률상으로만 존재하는 것이라서 마지막 게임을 한번 더 해서 A가 무조건 이긴다는 보장도 없다. 

나 역시 게임이 무효화 되고 서로 걸었던 각자의 돈을 그대로 가지고 가는 것이 가장 공정한 것이 아닌가 하는 생각이 들었지만 (이게 너무 집착이 되고 맞다고 생각하니 계산할 마음도 안 생김) 이 문제의 답은 따로 존재하는 만큼 수학적 계산을 통해 답을 맞출 사람은 도전해 보길 권한다.

사실상의 계산은 포기한 타일러, 나도 마찬가지. 어떻게 나누어야 되는가가 아니라 어떻게 나누어야 "공정"한 것인가에 대한 물음이라 이건 뭘로 계산해도 공정하게 배분할 수는 없다. 이런 이유로 문제풀기를 포기한 사람은 제외하고 일단 풀이 과정을 지켜보자.

2분의 1과 4분의 1이 왜 나왔는지 이해가 좀 안되었던 부분, 남은 게임이 2번까지 될 수 있다는 건 이해했다. A가 2번 이기고 B가 1번 이긴 상황에서 B가 이기면 결국 2 : 2 로 한번 더 게임을 해야 하기 때문, 이긴다, 진다, 비긴다 확률이 가능한데 사실상 이 문제에서 또 하나 문제(?)를 찾는다면 계속 비길 경우다.

이긴 승률에 근거해서 분배한다고 하고 남은 기대값에 대한 걸 따진다고 하지만 확률상 남은 판을 지속한다고 할 때 비길 수도 있는 상황, 근데 미약한 확률이지만 연이어 계속 비길 경우라면 결국 승패는 게임을 진행해도 나오지 않게 된다. 이게 게임을 중단하지 않고 그냥 했다면 언젠가는 승패가 갈리지만 게임을 중단하고 이후에는 확률로만 접근하는 것이라 계속 비길 확률도 크다. 그것에 또 꽂히면 공정한 배분은 꼬리물기가 된다.

일단 정답은 아래 공개

3 : 1로 나누어 A는 48 금화를 갖고 B는 16 금화를 갖는 것이 가장 공정하다는 것이 답

1) 게임을 하고 2) 모두 세 번 이겼을 때 3) 모든 금화를 가진다는 룰 규칙에서 사실상 3가지 모두 지켜지지 않은 상황이다. 결국 종료가 되지 않은 상황에서 분배를 한다는 건 맞지 않다는 것에 나 역시 타일러와 같은 생각, 문제를 푸는 것도 좋지만 문제 자체가 성립하기 애매한 것이 분명 있고 3가지 조건이 되었을 때 금화를 가지기로 해놓고 중간에 누구 한쪽이 유리한 입장에서 중단된다고 하여 그걸로 기대값으로 정해 분배 비율을 정한다는 건 공정과는 거리가 분명 있다. 

실제로 이 게임룰을 따라 게임을 하는 중에 상대방이 2번 이기고 내가 1번 이긴 상황에서 게임을 중단하고 나누어 갖는다고 할 때 이 답처럼 나눠가질 경우 합리적이고 공정하다고 여길 사람이 과연 있을까? 물론 확률에 따른 기대값을 구한다는 문제 자체는 이해하지만 현명한 판단을 구하는 문제인지 문제풀이를 위한 문제인지는 구별할 필요성이 있다.

카지노에서 내가 절반이 넘은 승률을 가진 상황일 때 남은 게임을 멈추고 판돈을 나누어 가진다면 당연히 씨알도 안 먹힐 이야기, 매회 하고 끝내고 하고 끝내면 남은 돈을 나눠 가지면 되고 매회 없이 한번 할 때 3회 승리 조건을 달아 게임을 하다 종료가 되지 않은 상태에서 멈추었다면 원래 그대로 나눠 가지고 다음에 다시 게임을 하는 것이 어쩌면 지극히 당연한 상식,

세계 수학자 문제 특집으로 나왔던 문제인데 솔직히 좋은 문제라고 본다. 이런 전혀 다른 문제 접근 방식이 가능하기 때문이다. 문제가 어떻게 나누어 가져야 할까가 아니라 어떻게 해야 "공정"하냐고 질문을 하고 문제를 낸 것이 의외의 복병이자 이 문제의 함정, 또 다른 사고 방식의 출연 이유가 아닐까 싶다.