모양과 크기가 똑같은 9개의 구슬 중에서 저울 세 번 사용으로 다른 구슬 하나 찾기

은근 쉬울 것 같으면서도 어렵고 어려울 것 같으면서도 쉬운 문제, 무게가 다른 구슬 찾기 문제다. 모양과 크기가 똑같은 9개의 구슬이 있다. 9개의 구술에서 하나의 구슬만이 무게가 "다르다", 저울을 단 세 번만 사용하여 무게가 다른 구슬 하나를 찾는 것이 오늘의 문제, 세번의 저울질만으로 무게가 다른 구슬을 정확히 찾을 수 있을까? 

일단 구슬을 3개씩 나누어 저울에 달아보는 방법

123 구슬과 456 구슬의 저울이 같을 경우 789에 무게가 다른 구슬이 있다는 걸 알 수 있다 (저울 1회 사용)

789 중에서 79, 혹은 78을 대조해 저울이 움직이면 움직인 쪽 구슬이 범인, 둘 다 같다면 올리지 않은 구슬이 범인

그러나 이건 최적된 경우이고 만약 123과 456에서 범인 구슬이 있다고 할 경우라면 어떨까

12 구슬과 45 구슬 무게가 같은 경우 남은 3과 6 구슬 무게를 측정하면 되지만 12와 45 무게가 다르다면? 1번/2번/4번/5번 구슬 중 걸러진 두 개의 구슬과 남은 3번/6번 구슬이 존재하기 때문에 3회 저울 사용해도 4개의 구슬이 남게 된다. 결국 저울질을 더 해야 답 찾기가 가능해진다.

나는 처음에 이 문제를 보자마자 뭐가 어렵지라고 생각했다. 심지어 머리속에 그려가며 30초도 안되어서 답을 찾았다. 아마 나와 같은 식의 풀이를 한 사람이 많을 것이라고 추측되는데 내가 구상한 방법은 이렇다. 9개의 구슬 중에서 1개의 구슬을 빼고 남은 8개를 둘로 나뉘어 저울질을 한다 (1회 사용), 그럼 저울이 움직일텐데 저울이 움직이지 않는다면 8개의 구슬 모두가 무게가 같다는 말이 되기 때문에 내가 올리지 않은 구슬이 무게가 다른 구슬이 되어 한 번에 찾을 수 있다.

만약 저울이 예상대로 움직였다면 무거운 쪽 구슬 4개를 다시 양분 해 2개씩 묶어 저울질을 한다 (2회 사용), 이 때 가라앉은 저울쪽의 남은 구슬 2개를 가지고 다시 한번 저울질을 하면 (3회 사용) 결국 둘 중 하나를 찾을 수 있다.

그러나 내가 생각한 이 문제는 정확히 틀린 답이다. 문제를 다시보면 "무거운 구슬"을 찾는게 아니라 "무게가 다른" 구슬을 찾는 것이 관건이기 때문에 구슬이 무겁다는 전제조건이 없다. 결국 내가 했던 풀이는 무게가 다른 구슬이 "무겁다"는 전제하에 접근한 것인데 이게 다르다고만 했기 때문에 무거울 수도 있고 반대로 가벼울 수도 있기 때문에 결과적으로 경우의 수가 늘어난다. 저울이 내려 간쪽으로 접근해서 풀었지만 저울이 올라간 쪽이 문제의 구슬일 수 있다는 말이다. 무게가 다르다는 말을 말 그대로 다름인데 다르다는 걸 무겁다는 식으로 가볍게 생각해 푼 오류였다.

타일러 역시 나와 같은 생각으로 풀었던 방식이다.

무게가 "내려간 구슬"이 다른 구슬이라는 접근 방법의 오류, 가벼운 구슬이 다른 구슬이 될 수 있음을 간과

그렇다 무게가 다르다는 구슬이 가벼운지 무거운지 알 수 없기 때문에 저울이 움직이는 자체로 판단하기 어렵다

무거운 쪽으로 다시 접근한 풀이법, 또 이대로 하면 저울질 3회도 초과해야 한다

123/456을 나누어 무게를 달았을 때 평행이 되면 문제가 없다는 건 맞다. 남은 789에 무게가 다른 구슬이 있다는 확실한 증거가 되고 3개의 구슬이라면 두 번 저울질로 충분히 찾을 수 있다. 그럼 123/456의 무게가 다른 경우에는 어떨까? 사실 123/456이 평행이 되면 답 찾기가 쉬운거나 123/789 혹은 456/789가 무게가 같다면이란 말과 다른 경우는 아니다. 다만 저울질 3번으로 쉽게 찾아내야 한다는게 핵심

사실 이 풀이법은 꽤 잘 접근한 풀이법이다. 123과 456을 쟀을 때 무게가 다르다면 이 6개의 구슬안에 문제의 구슬이 있다는 말이 되는데 변수는 무게가 내려간 쪽이 답이냐 무게가 올라간 쪽이 답이냐는 장애물과 만나게 된다. 무거운지 가벼운지를 알아내기 위해서는 대조할 수 있는 다른 집단과 다시 한번 저울질을 해보면 되는데 저울질을 하지 않았던 789와 무게를 쟀을 때 평행이 되느냐 다시 움직이느냐에 따라 용의 구슬 찾기가 쉽다.

123이 내려가고(무거움) 456이 올라갔을 때, 123과 789를 비교 저울질해서 둘이 평행이 되면 123789 6개의 구슬 모두 무게가 같다는 말이 되고 123은 456보다 무거워 내렸다는 해석이 됨으로 456에는 "가벼운"구슬이 있고 가벼운 구슬이 범인이 된다.

반대로 123이 올라가고 (가벼움) 456이 내려왔을 때 123과 789를 비교해도 마찬가지, 둘이 평행이 되면 456 중에 무거운 구슬이 있고 그게 범인이 된다. 123/456에서 나온 결과물 (어느 한 쪽으로 치우치면) 과 대조한 저울질(2차)을 통해 가벼운지 무거운지 쉽게 알아낼 수 있고 무게가 다른 구슬이 어느 곳에 있는지 알 수 있다. A그룹과 B그룹을 비교하고 나온 결과물로 A나 B 아무쪽과 C그룹을 비교하면 숨어있는 구슬이 무거운지 가벼운지 알 수 있다는게 핵심! 

이 때 남은 저울질 횟수는 1회고 찾아낸 구슬은 3개인데 어떻게 해야 범인 색출이 가능한지 막혀 이 단계에서 종결이 되었는데 살짝 아쉽다. 1차 시기로 두 집단이 같은지 다른지를 구분했고 2차 시기로 가벼운지 무거운지를 알아냈는데 무거운지 가벼운지를 알아냈음에도 3차 마지막 저울질에 응용하지 못한 케이스다. 

2차 시기로 문제의 구슬이 가볍다고 알아낸 경우 (혹은 반대로 무겁다고 알아낸 경우) 남은 3 구슬 중에서 하나는 내가 갖고 두 개만 올려 무게를 재면 답은 바로 나오게 되어 있다. 가볍다일 경우 올라간 쪽이 있다면 그게 답이 되는 구슬이고 무겁다면 내려간 쪽이 답이 된다. 두 구슬이 평행을 이룬다면 가볍거나 무겁거나 상관없이 결국 내가 갖고 있는 올리지 않은 구슬이 답이 된다. 

MC무의 풀이는 내가 처음 생각했던 방법, 1개를 빼고 8개를 반으로 나눠 4 대 4로 저울질을 하는 방법인데 마찬가지로 무게가 "무겁거나" "가볍거나"를 알고 있다면 3회 저울질로 바로 찾을 수 있지만 3회째 기울어진 저울 상태에서 올라간 구슬이 답인지, 내려간 구슬이 답인지 알 수 없어 결국 풀이가 될 수 없다. 무게가 "다르다"는 걸 간과하고 무게가 다르다라는게 "무겁다"라고 바꿔 인식해 풀면 이런 풀이가 된다.

처음 성진환이 했던 풀이법이 사실상 가장 정확했고 다만 정리가 안되어 3차 시기 시도를 못했을 뿐이라 정리만 하면 성진환의 답풀이가 정답이 된다. 다시 정리 들어간 풀이

결국 이 문제는 무게가 "다른" 하나가 무거운지 가벼운지에 대한 정보 파악이 중요하며 그걸 무시하거나 그걸 알아내지 못하면 3회 저울질로 찾는게 불가능하다. 대조할 그룹 하나를 남겨두고 비교할 두 집단을 가지고 무게 차이가 나는 걸 따진 다음에 그 결과물과 대조 그룹간의 평행여부, 기울기 여부에 따라 남은 구슬 하나가 가벼운지, 무거운지 알아낼 수 있고 대조하는 과정에서 결국 남은 건 3개의 구슬이 되기 때문에 어떤 구슬이든 3개만 남기게 되면 무게가 다른 구슬 찾기는 가능해진다.

 1) 가벼운지 무거운지 어떻게 다른지 알아내야 하며 2) 무조건 구슬 3개가 남은 상태에서 마지막 저울질을 해야 답을 알아낼 수 있기 때문에 3개의 구슬이 마지막에 남도록 해야 한다.