당신에게 선택권을 변경할 수 있는 기회를 준다면 바꿀까, 바꾸지 않을까? - 몬티 홀의 딜레마 문제

문제적 남자에서 다루었던 몬티 홀의 딜레마 문제, 세계적으로 유명한 수학 문제 <몬티 홀의 딜레마>는 1963년 미국 쇼 프로그램 <Let's Make A Deal>에서 유래된 문제로 진행자인 몬티 홀의 이름에서 따온 명칭이다. 몬티 홀의 딜레마는 미 명문대 수학과 교수들이 이 문제를 두고 장기간 토론을 벌여 수학의 패러독스로 세계적으로 유명한 문제다

워낙 유명하고 많이 알려져 있어 퀴즈를 즐겨 푸는 사람들이라면 모르는 사람이 없고 한번은 풀어봤던 기억이 있는 문제다. 퀴즈 방송이나 예능에서도 꽤 자주 언급 되었고 두뇌풀이를 다루는 방송 프로그램에서는 거의 빠지지 않고 자주 나오는 단골 문제이기도 하다. 퀴즈풀이에 능숙하다면 이미 답까지 알고 있는 경우가 많지만 몬티 홀의 딜레마 문제가 생소한 사람에게는 도전해 볼 만한 가치가 있다. 문제는 간단하다.

세 개의 문이 있다. 세 개의 문 중 하나에는 멋진 고급 자동차가 있고 나머지 두 개의 문 뒤에는 염소가 있다. 당신이 문 하나를 선택하면 모든 상황을 알고 있는 사회자가 나머지 두 개의 문 중에서 염소가 있는 문 하나를 연다, 그리고 열리지 않은 문을 두고 다시 한 번 선택할 수 있는 기회를 준다. 선택을 바꾸는 것과 바꾸지 않는 것 중 어느 쪽이 유리한가?

1번을 선택했는데 사회자가 3번 문을 열고 꽝이라는 걸 보여준다. 나머지 문은 1번과 2번이다. 1번 선택을 계속 유지하겠느냐 아니면 2번으로 선택을 바꾸겠느냐를 묻는 문제고 바꾸거나 바꾸지 않는다면 그 이유를 논리수학적으로 설명해야 답으로 인정된다.

MIT 수학천재들이 라스베가스에서 카운팅 기술로 돈을 번다는 영화 <21>에서도 이 문제가 소개 되었다.

세 개의 문 중 하나에는 멋진 차가 있고 나머지 두 개의 문 뒤에는 염소가 있다

사회자가 선택을 바꿀 수 있는 기회를 한번 더 줬다. 실제 퀴즈 프로그램이나 예능의 복불복 게임에서도 이미 선택한 것을 두고 다시한번 기회를 주면서 흥미를 유발하는 경우가 많다. 그것과 같은 상황이다. 선택을 바꿀 수 있는 기회를 다시 주었을 때 바꾸는 사람들이 있고 처음 선택한 것을 끝까지 밀고 나가는 사람이 있는데 선택을 바꿀 수 있는 기회에서 왜 그런 선택을 했는지를 설명해야 한다.

공개된 문(염소)을 빼고 남은 문이 2개이니 자동차가 나올 확률은 50%라는 주장, 문이 세 개일 때는 내가 고른 문이 당첨될 확률로 33% 확률이었으나 문이 2개 남은 상황에서는 이제 50%로 올랐으니 바꾸지 않는다는 의견이다.

선택하지 않은 곳은 3분의 2 확률인데 문 하나가 공개 되었으니 2분의 1 상황이 되어 3분의 1이 된 것이고 처음 선택한 문은 변화가 없기 때문에 3분의 1 확률에서 2분이 1 상황이 되어 6분의 1 확률로 바뀌게 되었기 때문에 3분의 1 확률로 더 높은 내가 처음 선택하지 않았던 다른 문으로 바꾸는게 더 낫다는 의견

여전히 바꾸지 않는게 낫다는 의견이 추가된다. 처음에는 3분의 1 확률이지만 문이 2개만 남았고 둘 중 하나에 자동차가 있으니 확률은 이제 2분의 1이 된다. 확률이 올라갔다는 뜻이 된다. 이 상황에서 다시 선택을 달리하면 내가 선택한 곳은 2분의 1 (50%)로 전보다 확률이 높아졌지만 재선택한 문은 전과 다름 없이 3분의 1 상황이 그대로이기 때문에 바꾸면 안된다는 의견이다. 앞서 나온 이장원과 같은 풀이

이 문제는 여러 유명 수학자들이 격한 토론을 해서 답 찾기를 했다는 설명 자체가 어느 진영에서든 설득력과 논리수학적 근거만 있으면 답이 될 수 있다는 말이 된다. 다른 사람에게 설명을 할 때 이해하기 쉽게 확실하게 설득할 수 있는 사람이 결국 이기는 문제,  

바꿔도 확률은 같기 때문에 바꿔도 되고 바꾸지 않아도 된다는 의견 추가

자동차가 어디있는지 알 수 없는 찍기 게임에서 어차피 선택 한 번과 선택 두 번의 차이는 크다. 틀릴 수 있는 리스크를 2번이나 한다는 것 자체가 위험률이 높고 확률이 떨어진다. 결국 도박성으로 접근해도 바꾸지 않는게 낫다는 의견

결국 바꾸지 않는다는 의견이 절대적인 다수 (원래 시험 볼 때도 처음 찍은게 답이라고 하지 않던가 ㅋ)

사회자는 차가 어디에 있는지 알고 있기 때문에 참가자가 어떤 문을 선택하든 염소가 있는 문을 열 수 있다. 차를 선택하든 염소를 선택하든 염소가 있는 문은 무조건 남기 때문에 그 문을 열어 확률 게임속으로 초대하게 되는 셈이다. 영화 속에서 말하는 정답 풀이는 과연 어떻게 진행될까? 이 딜레마의 알 수 없는 답은 아래 공개

영화 속에서 나온 답은 "바꾼다"

다양한 방식의 증명들이 존재한다고 하는 것처럼 사실 바꾸지 않는게 맞다고 하는 사람들의 주장도 틀린 건 아니다. 말 그대로 해석하기 나름이고 설득하기 나름이다. 그러나 이 알 수 없는 문제의 답이 그래도 "바꾸는게 낫다"라고 정해진 건 간단하다. (물론 이 풀이에 대해서도 반론은 언제나 가능하다)

가장 쉽고 가장 많이 알려진 답 풀이는 있는 그대로의 확률 풀이다. 각각의 문 세 개는 자동차가 있을 확률이 모두 같은 3분의 1이다. 그러나 선택과 비선택이라는 두 가지 진영으로 나뉘어지게 되어 있다. 다시말해 내가 선택한 건 무조건 3분의 1이 되고 선택하지 않은 쪽은 나머지 3분의 2가 된다.

이 때 사회자가 3분의 2쪽에 있는 문을 하나 열었고 이제 그 진영에는 문이 하나 남았다. 확률은 여전히 그대로다. 즉 내가 선택한 곳은 3분의 1이고 선택하지 않은 "진영"은 문이 하나 공개되었지만 여전히 3분의 2다. 처음 그렇게 확률이 정해졌고 그렇게 시작했기 때문이다.

결국 이제는 각각 문이 하나씩 남아 있는데 내가 선택한 쪽은 3분의 1이고 내가 선택하지 않은 문은 확률이 3분의 2다. 그렇기 때문에 내가 선택하지 않은 쪽 확률이 더 높아졌다. 그래서 바꿔야 한다. 영화에서 주인공이 내가 선택한 것은 처음과 같은 33.33% (3분의 1) 지만, 문이 하나 공개되면서 다른 문이 66.66% (3분의 2) 로 확률이 올라갔기 때문에 그 문으로 바꾸어야 한다고 말한다. 이게 지금까지 가장 논리적인 수학적 접근이라 이게 정답으로 여긴다.