축구공의 문양에서 정오각형이 12개일 때 정육강형의 갯수는 몇 개가 될까?

이번 문제는 축구공과 관련된 문제다. 축구공은 검은색의 정오각형과 흰색의 정육각형 모양을 배치해 만들어진다. 만약 축구공의 검은색 부분 정오각형이 12개라면 흰색 정육각형은 몇 개가 되어야 하는가를 묻는 문제, 정오각형과 정육각형이 맞붙어 축구공 문양이 된다는 걸 기억한다면 결코 어려운 문제는 아니다.

축구공의 검은색 정오각형이 12개일 때 흰색 정육각형은 몇 개?

축구공을 감으로 그려서 셈을 해봐야 알지 이것도 수학적 풀이로 갯수 찾는게 가능할지는 해봐야 한다

그림을 봐도 알겠지만 정오각형 모양 자체를 둘러싸고 있는 건 당연히 5개의 변과 맞닿아 있는 5개의 정육각형이 된다. 정오각형 1개당 정육각형 5개가 붙게 된다. 정오각형이 12개라면 12X5가 되니 정육각형은 모두 60개가 된다. 그러나 변수가 있다. 정오각형 하나당 붙는 정육각형은 다른 정오각형의 정육각형이 될 수 있다. 즉 60개의 정육각형은 중복된 갯수라는 말이 된다. 정오각형에 붙는 것이 정육각형이라면 확장되는 부분에는 반대로 정오각형이 붙어야 축구공 문양이 완성되기 때문에 결국 정오각형을 기준으로 나온 60개의 정육각형은 답이 될 수 없다.

그림으로 축구공을 그려 갯수를 풀어낸 하파고의 풀이, 그려보니 오각형 12개일 때 육각형 20개가 된다고 그렸다.

아래부터 정답풀이

꼭지점의 수로 접근한 것과 축구공을 감으로 그려낸 것의 풀이과정 두 번 모두 정육각형의 갯수 정답은 모두 맞혔다. 풀이과정이 다를 뿐 답 자체는 맞았는데 이걸 수학적 풀이로 초간단 정리한 것이 아래 답풀이다. 

문제 풀이의 핵심은 육각형과 오각형이 공유하는 변의 수를 파악하는 것, 정오각형 하나당 정육각형 5개가 붙고 정오각형이 12개 일 때 정육각형이 60개가 되지만 육각형이 오각형과 공유하는 변의 수가 3이기 때문에 60개의 정육각형 중에서 그 공유하는 변의 수 만큼 제외해야 한다. 중복되는 정육각형을 제거한다는 뜻도 된다. 그림을 그리거나 축구공 모양을 직감으로 표현해 두리뭉실하게 찾아내지 않아도 수학적 풀이가 가능하고 정확하게 찾아낼 수 있다, 

(12 X 5) 나누기 3 (공유하는 변의 수) = 20, 답은 흰색 정육각형 20개

참고로 정오각형을 중심으로 보는 것과 정육각형을 가운데 중심으로 놓고 보는 것에서 차이가 발생한다. 칠판에 그려진 그림들은 문제 그대로 정오각형을 중심으로 그려나갔다. 정오각형은 5개의 모든 변이 정육각형으로만 둘러싸여 있게 되지만 정육각형은 3개의 정오각형과 3개의 정육각형이 둘러싸이게 된다. 중복(공유하는 변)되는 것이 무엇인지 가늠할 수 있는 포인트가 될 수 있다. 정오각형을 중심으로 놓고 보느냐, 정육각형을 중심으로 놓고 보느냐에 따라 헷갈릴 수 있다.